Luca Bellotti
(Università di Pisa - X Ciclo)
Che cos'è un modello della teoria assiomatica degli insiemi?
Luca Bellotti Universita' degli studi di Pisa
Via E. Gianturco n. 55 19126 La Spezia tel. 0187-524673
Nelle pagine seguenti cercheremo di articolare, in modo sintetico ma il più possibile preciso, il
complesso di problemi che sono oggetto delle nostre ricerche. Non poniamo la domanda che costituisce il titolo
(provvisorio) della nostra Tesi con l'intento di rispondervi con una definizione matematica, benché naturalmente
il nostro punto di partenza e di riferimento sia la metamatematica della teoria assiomatica degli insiemi.
Vogliamo invece porre la questione del significato filosofico dello studio dei modelli della teoria degli insiemi.
Se vogliamo classificarla, si tratta di una questione di filosofia della matematica; ma vedremo che ben presto
essa coinvolgerà problemi filosofici più generali, principalmente di teoria della conoscenza. La questione si
articola negli aspetti seguenti, che verranno sotto brevemente esposti (rimandando di volta in volta alle
rispettive sezioni della bibliografia):
1. Il nesso sintassi/semantica;
2. Il problema della 'circolarità' di ogni semantica per la teoria degli insiemi;
3. Il problema della coerenza delle ipotesi 'forti';
4. Il problema dell'univocità dell'interpretazione;
5. L'alternativa del secondo ordine;
6. Il 'caso' della definizione delle costanti logiche;
7. Le difficoltà di un 'naturalismo insiemistico' che voglia fare a meno del realismo;
8. Il realismo come esigenza implicita nei problemi precedenti;
9. L'esigenza di univocità come essenza del realismo in matematica; la sua ineludibilità e, nello stesso
tempo, impossibilità;
10. Un punto di vista 'trascendentale'?
1. La teoria degli insiemi è, innanzitutto, il 'luogo' in cui il nodo problematico dei rapporti tra sintassi e
semantica emerge in tutta la sua complessità. Teoria e metateoria, nel caso della teoria degli insiemi, sono
fondamentalmente omogenee, e questo può indurre l'illusione di aver finalmente raggiunto la Metateoria per
eccellenza, una sorta di linguaggio naturale della matematica, un linguaggio univoco, che rimane inattaccabile
dalle patologie dei linguaggi formali, in particolare dalla proliferazione dei modelli non standard. Si tratta,
tuttavia, di un'illusione: l'unità metodologica di teoria e metateoria non comporta la trasformazione del
linguaggio formale in un particolare linguaggio naturale, quanto piuttosto la fine di ogni pretesa della semantica
di riuscire in quella determinazione univoca dell'interpretazione che sfugge alla sintassi. In altre parole, nel
passaggio dalla sintassi della teoria degli insiemi alla sua semantica ci portiamo dietro tutti i fenomeni limitativi
e patologici, e possiamo superarli sempre soltanto in senso relativo, ad esempio tenendo fermo come modello
standard
un modello che in un altro contesto può non esserlo.
Questo nodo del rapporto sintassi/semantica emerge con chiarezza in tutta la sua problematicità in una
discussione tra Beth e Carnap (si veda Bibliografia, 1) in cui Beth sottolinea come sia necessario fare
riferimento ad un modello intuitivo per mantenere invariante la sintassi del linguaggio oggetto considerato, e
Carnap risponde che, per poter comunicare, è necessario che una interpretazione sia in qualche modo fissata. E'
chiaro che il problema che viene sollevato è in realtà ben più grave: alcuni risultati metateorici fondamentali (in
particolare: completezza, compattezza, esistenza di modelli non standard) mostrano che una volta effettuato il
passaggio alla formalizzazione, l'accordo di cui parla Carnap non è possibile mediante le risorse della
formalizzazione stessa; in altre parole, dalla formalizzazione non si può tornare indietro ad una (mitica)
'innocenza primigenia' in cui un certo linguaggio matematico sarebbe semplicemente la descrizione di una ben
determinata 'realtà' matematica.
Si potrebbe, tuttavia, rovesciare completamente l'argomento fin qui condotto, ed usarlo come un
argomento a favore di un realismo ingenuo. Infatti, se la sintassi soffre della stessa assenza di univocità di tutto
ciò che è formalizzato, sembra cadere ogni ragione per metterla metodologicamente all'inizio e cercare poi di
edificare l'intera matematica su basi sintattiche; sembra possibile muoversi sin dall'inizio nella massima libertà,
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mettendo al centro l'infinito attuale nelle sue forme superiori, ad esempio i grandi cardinali. In altre parole,
invece di ricostruire tutto 'passo passo' a partire dalla sintassi, parliamo direttamente (ad esempio) di cardinali
misurabili. Una prima osservazione che nasce di fronte a questo rovesciamento è che la non-univocità della
sintassi, di cui stiamo parlando, vale solo nel caso (che peraltro è quello abituale) in cui la sintassi sia
considerata come un opportuno frammento dell'aritmetica formale sotto mentite spoglie. Ma è possibile almeno
un'alternativa: la sintassi in senso hilbertiano, ad esempio, non sembra ridursi a questo; tuttavia, questa
alternativa richiede assunzioni filosoficamente niente affatto banali, di difficile giustificazione, su che cosa
debba essere considerato contenutistico.
Ma il vero problema del contro-argomento realistico che stiamo considerando è un altro, che ci
riconduce al punto di partenza di queste considerazioni: il problema è che non abbiamo un linguaggio naturale
della matematica, nel caso della teoria degli insiemi, solo perché è la semantica di se stessa; semmai, come
abbiamo detto, la semantica stessa soffre di tutti i fenomeni di modellizzabilità non standard di cui soffre il
sistema formale. Da questo consegue l'impossibilità di 'saltare' direttamente alla realtà dell'infinito superiore
liberi da 'impacci' sintattici, poiché quella stessa realtà è inestricabilmente legata alla formalizzazione, che è,
nello stesso tempo, condizione di possibilità del suo darsi e ragione della sua indeterminatezza. Bibliografia: 1
e 2.1.
2. Il fatto che la semantica dei linguaggi formali, in particolare della teoria degli insiemi, sia
essenzialmente insiemistica essa stessa (benché naturalmente i rapporti tra teoria e metateoria debbano
rispettare le limitazioni tarskiane, o comunque una qualche forma di gerarchizzazione), pone il problema
dell'individuazione di una semantica per la teoria degli insiemi che non sia, in un certo senso, circolare. L'unica
via d'uscita sembra l'ammissione che, al livello più 'alto', ovvero al livello del fondamento ultimo della teoria
degli insiemi, non si possa fare a meno di una semantica in qualche misura intuitiva. Ma è possibile qualcosa
del genere? Che cos'è una semantica intuitiva? Crediamo che la delimitazione di tale concetto incorra in gravi
difficoltà, che non sono soltanto quelle classiche riguardanti i linguaggi naturali o i linguaggi della scienza, ma
anche difficoltà specifiche, legate all'irrilevanza che i problemi che si pongono in modo naturale nel caso della
semantica di altri linguaggi sembrano assumere nel caso dei linguaggi matematici. Più specificamente, ci si può
chiedere se le varie 'giustificazioni' che sono state proposte per gli assiomi della teoria ZFC sulla base
dell'analisi della concezione iterativa dell'universo degli insiemi, a sua volta considerata essenzialmente
intuitiva e non formale, siano realmente informative, o se non siano invece mere riscritture degli assiomi stessi.
Si ha l'impressione che, in qualche misura, la presunta giustificazione degli assiomi a partire dalla descrizione
della gerarchia cumulativa sia circolare, nel senso che sono gli assiomi di ZFC a rendere plausibile la gerarchia
stessa. Bibliografia: 2.2.
3. Un problema che sembra del tutto trascurato (a giudicare dalla letteratura di cui siamo a
conoscenza), è quello della coerenza della teoria degli insiemi e delle ipotesi aggiuntive. Tra le conseguenze più
notevoli del secondo teorema di Gödel c'è l'impossibilità di dare dimostrazioni di coerenza relativa per le
ipotesi di grandi cardinali, al contrario di quanto avviene per l'ipotesi di costruibilità. Su un altro piano, come
rilevava P. J. Cohen già nel 1967, cercando di immaginare come avrebbe potuto configurarsi una dimostrazione
di coerenza per ZF, il vero ostacolo ad ogni tentativo di 'riduzione' è l'essenziale impredicatività presente
nell'assioma di rimpiazzamento, che costituisce la chiave di volta di ZF stessa. Crediamo che, in ogni caso, sia
istruttivo indagare sulle ragioni per cui i matematici accettano, con una tranquillità e una soddisfazione che a
Skolem (1950) risultavano scandalose, il fatto che, nei fondamenti della matematica, è il soffitto a reggere il
pavimento. (Senza dimenticare, d'altra parte, che il predicativismo richiede quantomeno di 'riscrivere' alcune
parti dell'analisi). La spiegazione della tranquillità con cui i matematici sottomettono le difficoltà riguardanti i
modelli della teoria degli insiemi, attraverso le ipotesi di grandi cardinali, sembra una fiducia non giustificata
nella capacità di una qualche facoltà di intuire direttamente la coerenza. E' come se venissero completati
intuitivamente (Gödel) gli stadi della costruzione dell'universo degli insiemi, in un processo che trova solo punti
di stabilità, ma mai di definitivo arresto (secondo la 'dialettica' zermeliana). Resta il fatto che tale provvisorio
completamento non rimane ineffabile, ma si esprime via via attraverso nuovi assiomi (che sono enunciati,
oggetti finiti), e principi di immersione elementare (ovvero di riflessione; esempi di tali principi sono tutte le
ipotesi note di grandi cardinali) che fanno un uso essenziale del fatto che il linguaggio è formalizzato, ed è
formalizzato al primo ordine. Bibliografia: 2.1 e 2.2.
4. La vexata quaestio del cosiddetto 'paradosso' di Skolem resta, a nostro parere, uno dei punti in cui
meglio si possono individuare le diverse reazioni di fronte al nodo problematico che stiamo cercando di
delineare. Qui il problema cruciale è quello dell'univocità dell'interpretazione delle nozioni insiemistiche: se è
vero che deve essere scartata la lettura secondo cui il teorema di Löwenheim-Skolem mostrerebbe che esiste 'in
realtà' solo il numerabile, resta il fatto che ogni nozione di cardinalità è relativa, se individuata all'interno di un
linguaggio formale del primo ordine. Se si vuole evitare un moderato costruttivismo, sembrerebbe che non
rimanga altro che accettare una qualche forma di realismo metafisico. Bibliografia: 3.
3
5. Di fronte a tutte le difficoltà che si presentano con i linguaggi del primo ordine, sembra porsi in
modo naturale, almeno problematicamente, l'alternativa del secondo ordine. Crediamo che siano convincenti le
argomentazioni di chi ritiene (Quine, tra gli altri), che la logica del secondo ordine sia sostanzialmente teoria
degli insiemi in disguise, per cui avrebbe poco senso sperare, riscrivendo la teoria degli insiemi al secondo
ordine, di guadagnare qualcosa che possa compensare la grave perdita di chiarezza metodologica. Anche in
questo caso, tuttavia, c'è una via d'uscita dall'impasse che spiega perché il secondo ordine abbia avuto un
sostenitore autorevole come Kreisel: l'uso della logica del secondo ordine è perfettamente legittimo se si
ammette che sia completamente determinata l'operazione di insieme potenza. Ma, alla luce di quanto precede,
quale garanzia potremmo avere di ciò, se non ammettendo ancora una volta una facoltà di intuizione che renda
determinato quello che il formalismo è incapace di determinare? Contro questo sorge l'obiezione, spesso
sottovalutata, che l'intenzione di univocità non è garanzia della propria realizzazione. E' vero che tale obiezione,
in questo contesto, sembra aver senso soltanto in una prospettiva realistica; ma è anche vero che parlare di
determinatezza dell'insieme potenza indipendentemente dal linguaggio al di fuori di una prospettiva realistica
sembra problematico (si ricordi l'aspetto 'quasi-combinatorio' degli assiomi della teoria degli insiemi, rilevato
da Bernays). Bibliografia: 4.
6. E' il concetto stesso di nozione logica a richiedere una struttura type-theoretic, o equivalentemente
un modello standard di ZFC: in mancanza di essi, almeno accettandone la definizione di Tarski (1966) -
definizione 'ampia', nel senso che in base ad essa si ammettono logiche infinitarie come logiche a tutti gli effetti
- non avremmo più una nozione determinata neppure di costante logica. Anche qui, c'è un presupposto, niente
affatto ovvio: che le costanti logiche siano tali da potere e dovere essere definite insiemisticamente. Su questo
argomento ho scritto un articolo, dal titolo Tarski on logical notions (sottoposto all'attenzione del Prof. John
Corcoran della State Uiversity of New York at Buffalo, USA, per evantuale pubblicazione sulla rivista "History
and Philosophy of Logic"). Bibliografia: 5 e 5.1.
7. L'ineludibilità di una qualche forma di realismo sembra emergere anche nel contesto più ampio di
una generale filosofia della matematica. Considerando la riflessione di Penelope Maddy, l'autrice che,
informata dei più recenti sviluppi tecnici della teoria degli insiemi, ha proposto una sintesi di realismo e
naturalismo, emerge, a nostro parere, il fatto che un 'naturalismo insiemistico' richiede paradossalmente come
suo naturale presupposto una qualche forma di realismo metafisico. Maddy prende le mosse dalla riconosciuta
inutilizzabilità dei cosiddetti 'argomenti di indispensabilità', e decide di fare a meno del realismo per conservare
il naturalismo; in questo modo, tuttavia, nell'applicare alla scelta tra contrastanti ipotesi di rafforzamento di
ZFC i criteri metodologici derivanti dal suo naturalismo, incorre in difficoltà insormontabili. L'unico modo per
superare tali difficoltà sembra essere proprio un ritorno a qualche forma di realismo, che tuttavia non si vede
come possa convivere con la prospettiva naturalistica. Su questo argomento ho scritto un articolo dal titolo
Naturalismo e realismo nella metodologia della teoria degli insiemi ("Rivista di Filosofia", 89, n.2 (Agosto
1998), in corso di stampa). Bibliografia: 6.
8. Non è facile definire il realismo gnoseologico in generale, e neppure è facile definire il realismo
come filosofia della matematica. In ogni caso, non è questo il compito che ci proponiamo. Tuttavia, prendendo
come punto di riferimento la proposta più consapevole ed esplicita in questo senso degli ultimi anni, quella (già
menzionata) di Maddy, definiamo come realismo (sinonimo, in questo contesto, di 'platonismo') la dottrina
filosofica secondo cui la matematica è una scienza, che studia entità matematiche obiettivamente esistenti
(accettiamo, qui, che quest'ultima vaghissima caratterizzazione abbia un senso), e i cui enunciati sono veri o
falsi in base alle proprietà di tali entità, proprietà che esse hanno indipendentemente dal nostro linguaggio, dai
nostri concetti, dalle nostre teorie, dalla nostra conoscenza in generale.
Ora, non siamo interessati al realismo matematico in quanto tale, in particolare non come
un'impossibile filosofia 'sintetica' o dogmatica, ottenuta in qualche modo per 'costruzione' di concetti (secondo
una distinzione che, senza alcuna pretesa di fedeltà storica, rimanda naturalmente a quella kantiana), quanto
piuttosto all'esigenza realistica che emerge 'analiticamente' da tutto quanto precede (nei punti sopra esposti). Si
tratta di risalire alle condizioni attraverso cui soltanto si può proporre una via d'uscita alle aporie che sopra
abbiamo mostrato. Sembra che la soluzione che si propone con naturalezza, che è richiesta in tutti i casi, sia
quella di una qualche forma di realismo, come garanzia di soddisfacimento delle esigenze che nascono dalle
difficoltà via via riconosciute. Ripercorrendo i punti che precedono, dovrebbe risultare in qualche misura
evidente come il realismo si proponga, nei vari casi, come una soluzione drastica ma efficace per i nostri
problemi: per tagliare il nodo sintassi/semantica (punto 1); per saltare fuori dalla circolarità della semantica per
ZFC (punto 2); per sdrammatizzare completamente il problema della coerenza (punto 3); per dare una risposta
definitiva al 'paradosso' skolemiano (punto 4); per poter ammettere tranquillamente logiche di ordine superiore
(punto 5); per avere una nozione perfettamente determinata di costante logica (punto 6); per non incorrere nelle
difficoltà metodologiche del naturalismo 'insiemistico' (punto 7). Si noti che con questo non si vuole asserire
che altre forme di interpretazione filosofica dell'attività matematica siano, in sé, incapaci di dare soluzioni
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altrettanto efficaci; difficilmente però tali soluzioni potranno essere soddisfacenti per i sistemi formali che qui ci
interessano, quelli della teoria degli insiemi, con tutte le loro compromissioni con l'infinito superiore.
9. Eppure, dovremmo altresì essere riusciti a mostrare, pur in questi brevi cenni, come la proprietà che
si vorrebbe attribuire (in questo contesto) come proprietà essenziale al realismo, quella che lo rende
apparentemente indispensabile di fronte al problema di una semantica della teoria degli insiemi, cioè la sua
capacità di garantire l'univocità di interpretazione del linguaggio formale (ovvero: la determinatezza
dell'oggetto del discorso matematico) è una proprietà che non può essere in alcun modo attribuita con verità al
realismo stesso. E' sufficiente ripercorrere punto per punto le nostre considerazioni per accorgerci di questa
irrealizzabilità: il fatto che la semantica della teoria degli insiemi sia essa stessa insiemistica, la sottopone a tutte
le patologie dei linguaggi formali, e l'univocità è la prima caratteristica ad essere perduta (punto 1); sono gli
assiomi a giustificare la gerarchia cumulativa, per cui non si vede come quest'ultima possa infondere loro la
determinatezza che essi non hanno (punto 2); i grandi cardinali, che sono il metro di paragone della consistency
strength, sono introdotti mediante principi di immersione elementare, quindi prendendo in considerazione
essenzialmente la formalizzazione al primo ordine (punto 3); il 'paradosso' di Skolem resta una pietra
d'inciampo per il realismo, ed aggirarla solo con asserzioni dogmatiche (come purtroppo frequentemente
avviene) non è la migliore strategia filosofica (punto 4); la logica del secondo ordine presuppone, ben lungi dal
giustificarlo, l'assunto che il concetto di insieme potenza sia già determinato (punto 5); che la distinzione tra
'logico' e 'non-logico' debba essere estensionale ed addirittura insiemistica è un'assunzione non indiscutibile
(punto 6); e infine, il realismo a cui il naturalismo dovrebbe rivolgersi per uscire dalle sue difficoltà era stato
eliminato dalla Maddy, proprio in favore del naturalismo, per la sua insostenibilità gnoseologica (punto 7).
Insomma: l'esigenza dell'univocità sembra rimanere, contemporaneamente, ineludibile ed impossibile.
10. Giunti a questo punto, dobbiamo ammettere che, nella fase presente della nostra ricerca, non
abbiamo davanti a noi una direzione chiaramente determinata da proporre per tentare una soluzione dei
problemi a cui abbiamo accennato; anzi, crediamo che riuscire a portare a sufficiente evidenza tali nessi
problematici sia già un compito non facile. Non possiamo negare, tuttavia, che c'è una prospettiva che
sembrerebbe presentarsi come alternativa radicale, non solo al realismo, ma all'impostazione stessa delle
questioni che segue da assunti realistici, una prospettiva che a nostro parere varrebbe la pena tentare di
sviluppare, se non altro per rendersi conto dei suoi limiti. Designiamo tale punto di vista come 'trascendentale'.
Questo non implica una stretta fedeltà storica al pensiero di Kant, e neppure del Neokantismo marburghese, che
pure per la sua attenzione alle scienze esatte (specificamente in Cassirer) potrebbe essere un punto di
riferimento, essendo un candidato abbastanza naturale per un ripensamento della matematica che sfugga alle
consolidate dicotomie dell'attuale filosofia della matematica (quasi tutta elaborata in ambiente angloamericano).
Usiamo tuttavia il termine 'trascendentale', perché vorremmo tentare di mostrare alcune conseguenze di un
punto di vista in cui le questioni ontologiche e gnoseologiche sono impostate prendendo come punto di partenza
il fatto della matematica, e risalendo alle sue condizioni di possibilità, senza imporre dall'esterno ontologie o
gnoseologie precostituite (e proprio il naturalismo è, in questo senso, paradossalmente, qualcosa di
precostituito) tali da precludere in partenza ogni possibilità di spiegazione della concettualizzazione matematica
stessa. Un solo esempio: invece di porsi il problema (che troviamo, ad esempio, in Benacerraf) dell'accesso
epistemico alle entità matematiche, si potrebbe provare a vedere per quale ragione la matematica non ha alcun
problema di accesso alle 'entità' di cui parla, ovvero a quali condizioni si può dare questa attività che unisce
libertà di sviluppo concettuale ed esigenza di verità in un modo che non ha eguali in tutta la concettualizzazione
umana.
Una volta che si sia accettato, con un atteggiamento del tutto sperimentale, questo punto di vista,
possiamo tornare ai problemi esposti nei punti precedenti, e saggiare le sue capacità di spiegazione, o per lo
meno di chiarificazione. Questo lavoro è ancora tutto da fare; nondimeno, già due direzioni di ricerca sembrano
aprirsi, direzioni che non sono in opposizione, e che potrebbero essere seguite indipendentemente l'una
dall'altra. La prima consiste nel prendere in considerazione la possibilità di uscire dall'impasse dell'ineludibilità
e impossibilità dell'univocità (punto 9) considerando quest'ultima come qualcosa di analogo ad un ideale
regolativo. Più specificamente, si potrebbe esaminare se, e in che misura, l'universo degli insiemi possa essere
considerato non più come una (misteriosa) sostanza, quanto piuttosto come qualcosa di analogo ad un oggetto
trascendentale (nel senso dell'Analitica dei Princìpi); o invece ad un'idea della ragione; o invece ancora alla
cosa in sé. La seconda direzione, a nostro parere più promettente, anche se ancora largamente indeterminata,
pone al centro gli assiomi come costitutivi della realtà matematica. Si apre qui il compito di un'indagine della
natura di sintesi dell'assiomatizzazione, e delle condizioni di possibilità in senso trascendentale di tale sintesi.
Ad esempio, nel caso che ci interessa, quello dei modelli della teoria degli insiemi, caso a cui vogliamo sempre
ricondurci (come ad un laboratorio dove meglio si possano controllare nelle loro conseguenze le prospettive più
generali), si tratterebbe di individuare i vari livelli di sintesi, nelle loro forme e nelle loro condizioni, sia sul
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piano dell'assiomatizzazione (ipotesi forti, coerenza) sia sul piano dell'elaborazione dei modelli. Cenni (soltanto
preliminari) su questi temi si trovano in un mio articolo dal titolo Note in margine a 'Kant und die moderne
Mathematik' di Ernst Cassirer ("Studi Kantiani", XI (1998), in corso di stampa). Bibliografia: 7.
Luca Bellotti
Via E. Gianturco, 55 - 19126 La Spezia
Tel. 0187/524673 - e-mail (N.B. Posso accedervi solo dal mio Dipartimento):
l.bellotti@fls.unipi.it
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Storia della filosofia moderna, IV (tr. it., Torino, 1961), L. I, Cc. I-IV;
Couturat, L. : La philosophie des Mathématiques de Kant, Revue de Méthaphysique et de Morale, 12, 1904;
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seconda, I (Analitica trascendentale), Libro secondo: Analitica dei princìpi; II (Dialettica trascendentale),
Appendice; Dottrina trascendentale del metodo.
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